collapse

Αποστολέας Θέμα: Διαφορικες εξισωσεις  (Αναγνώστηκε 3554 φορές)

Αποσυνδεδεμένος osiris

  • Participating Member
  • *
  • Μηνύματα: 7
Διαφορικες εξισωσεις
« στις: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 20:22 »
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}= -\frac{(1+y)^{2}}{x-x^{2}+xy},\;\;\;\;y(1)=1
ειναι η Α-6 απο το φυλλαδιο ασκησεων του φιλου.Ρε παιδια την εχει κανεις λυμενη μεχρι τελους?ευχαριστω.σορρυ για τα λαθη με το latex...
« Τελευταία τροποποίηση: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 21:42 από Orfikoss »

Αποσυνδεδεμένος dimikou

  • Revered Member
  • *****
  • Μηνύματα: 594
    • E-mail
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #1 στις: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 22:22 »
Επειδή τα βιβλία των διαφορικών τα έχω στο πατάρι και δεν την θυμάμαι καλά την συγκεκριμένη, γίνεται να βοηθήσεις λίγο μπας και καταφέρω να θυμηθώ κάτι; Πως πας να την λύσεις και που κολλάει;
Με μια κάποια επιφύλαξη μου φαίνεται για "ολοκληρωτικός παράγοντας"...

ΥΓ: Θα πρότεινα να ασχοληθείς με θέματα το συντομότερο!
« Τελευταία τροποποίηση: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 22:29 από dimikou »

Αποσυνδεδεμένος osiris

  • Participating Member
  • *
  • Μηνύματα: 7
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #2 στις: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 22:41 »
δεν ειναι ολοκληρωτικος παραγοντας, ειναι χωριζομενων μεταβλητων.ειναι η μοναδικη που δν εχω λυμενη και εχει παρομοια στο βιβλιαρακι του Φιλου με τις λυμενες αλλα χωρις το μειον μπροστα.αν παω μονο με θεματα εχω αποτυχει ηδη.

Αποσυνδεδεμένος Anuminas

  • Quoted Member
  • ****
  • Μηνύματα: 252
  • να 'χαμε τώρα μια παστούλα....
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #3 στις: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 22:59 »
νομίζω το έχω αν και έχω χρόνια να ασχοληθώ με διαφορικές οπότε λίγο κατανόηση :embarrassed:


\ -\frac{(1+y)^{2}}{x-x^{2}+xy} = -\frac{(1+y)^{2}}{x(1-x+y)}
οπότε θέτω
1-x+y = u
και στο αριστερό μέλος έχω
-\frac{(u+x)^{2}}{xu}
που είναι μια ωραιότατη ομογενής.

το dy=du+1 αν δεν κάνω λάθος οπότε βγαίνει όντως ομογενής.


Don’t just read it; fight it! Ask your own questions,look for your own examples, discover your own proofs.Is the hypothesis necessary? Is the converse true?
What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proofuse the hypothesis?
— Paul R. Halmos

Αποσυνδεδεμένος dimikou

  • Revered Member
  • *****
  • Μηνύματα: 594
    • E-mail
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #4 στις: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 23:02 »
@osiris δώσε μου λίγο χρόνο μην φύγεις.

edit: Η άτιμη θέλει παραπάνω χρόνο γιατί βγαίνει ένα ολοκληρωματάκι λίγο περίεργο.
Έχεις pm.
« Τελευταία τροποποίηση: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 23:23 από dimikou »

Αποσυνδεδεμένος osiris

  • Participating Member
  • *
  • Μηνύματα: 7
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #5 στις: Πέμπτη 10 Ιούνιος 2010, 23:29 »
αυτο που λες ισχυει ,αυτο το ολοκληρωματακι αν το κανεις λαθος ο φιλος δεν συγχωρει....

Αποσυνδεδεμένος dimikou

  • Revered Member
  • *****
  • Μηνύματα: 594
    • E-mail
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #6 στις: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 01:00 »
Λοιπόν αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος αυτή μετά από δύο διαδοχικά θεσίματα (z=1+y και z=ux) ακριβώς όπως κάνει και στην Α.15 καταλήγει αρχικά να είναι ομογενής και στην συνέχεια μία χωριζομένων μεταβλητών (συγγνώμη δεν είχα και χρόνο να τσεκάρω αν το απευθείας θέσιμο του anuminas μας οδηγεί στα ίδια).

Εγώ καταλήγω στην
\frac{1}{x}dx = \frac{u-1}{-2u^2+u}du

Αφού ολοκληρώσουμε λοιπόν έχουμε:
\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{u-1}{-2u^2+u} du +c
\int \frac{1}{x} dx = - \int \frac{u-1}{2u^2-u} du +c

Εστιάζουμε στο ολοκλήρωμα του 2ου μέλους γιατί αυτό φαίνεται περίεργο:
Κάνοντας μια ανάλυση της παράστασης μέσα σε απλά κλάσματα έχουμε:
\frac{u-1}{2u^2-u}=\frac{1}{u} +\frac{-1}{2u-1}

Oπότε τελικά έχουμε:
\int \frac{u-1}{2u^2-u} du = \int \frac{1}{u}du - \int \frac{1}{2u-1}du
\int \frac{u-1}{2u^2-u} du = lnu - \frac{1}{2} \int \frac{2}{2u-1}du
\int \frac{u-1}{2u^2-u} du = lnu -\frac{1}{2} ln(2u-1)

Μετά βέβαια έχουμε το δρόμο προς τα πίσω.
Όπως το βλέπω πρόχειρα θα έβαζα όπου
u=\frac{z}{x}
(άλλωστε ενδιαφερόμαστε για χ=1.) Τότε θα προέκυπτε:

lnx=-[lnu-\frac{1}{2}ln(2u-1)]+c

lnx=\frac{1}{2}ln(2u-1) -lnu +c

lnx=ln\frac{\sqrt{(2u-1)}}{u}+c

e^{lnx}=e^{ln\frac{\sqrt{(2u-1)}}{u}+c}

x=\frac{\sqrt{(2u-1)}}{u}e^c

x=\frac{\sqrt{(2\frac{z}{x}-1)}}{\frac{z}{x}}e^c

z=\sqrt{(2\frac{z}{x}-1)}e^c

z^2=(\sqrt{(2\frac{z}{x}-1)})^2 e^{2c}

z^2=2\frac{z}{x}-1)e^{2c}

(1+y)^2 = [\frac{2}{x} (1+y) -1]e^{2c}

Σε αυτό το σημείο βάζω και το
e^{2c}=C
(1+y)^2 = [\frac{2}{x} (1+y) -1]C

Για x=1 και y=1:
(1+1)^2 = [\frac{2}{1} (1+1) -1]C

2^2 = [4 -1]C

C=\frac{4}{3}

Άρα η λύση του προβλήματος είναι η συνάρτηση y η οποία ικανοποιεί την σχέση:
(1+y)^2 = [\frac{2}{x} (1+y) -1]\frac{4}{3}

(1+y)^2 =\frac{8}{3x} (1+y) -\frac{4}{3}

*Ελπίζω ότι δεν έχει γίνει κάνα λάθος
Πάντως πιστεύω αυτό να ήταν αρκετό σαν λύση. (μαζί με τα μπλα μπλα της αρχής όπως στην άσκηση Α.15)




« Τελευταία τροποποίηση: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 01:03 από dimikou »

Αποσυνδεδεμένος Anuminas

  • Quoted Member
  • ****
  • Μηνύματα: 252
  • να 'χαμε τώρα μια παστούλα....
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #7 στις: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 03:16 »
νομίζω το έχω αν και έχω χρόνια να ασχοληθώ με διαφορικές οπότε λίγο κατανόηση :embarrassed:


\ -\frac{(1+y)^{2}}{x-x^{2}+xy} = -\frac{(1+y)^{2}}{x(1-x+y)}
οπότε θέτω
1-x+y = u
και στο αριστερό μέλος έχω
-\frac{(u+x)^{2}}{xu}
που είναι μια ωραιότατη ομογενής.

το dy=du+1 αν δεν κάνω λάθος οπότε βγαίνει όντως ομογενής.

εγώ θα το πιάσω απο εδώ...
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=-\frac{(u+x)^{2}}{xu}-1=-\frac{(u+x)^{2}+xu}{xu}=-\frac{u^2+x^2+3xu}{xu}=\frac{u}{x}+\frac{x}{u}+3
θέτω
\frac{u}{x}=t,\mathrm{d}u=x\mathrm{d}t+t
άρα έχω
x\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+t=t+\frac{1}{t}+3 \rightarrow x\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{t}+3 \rightarrow \frac{t}{3t+1}\mathrm{d} t=\frac{1}{x} \mathrm{d} x
λύνουμε κτλ.. δεν βγάζει κάτι διαφορετικό απο το προηγούμενο, μόνο αν σε βολεύει αυτό το ολ/μα έχει διαφορά
Don’t just read it; fight it! Ask your own questions,look for your own examples, discover your own proofs.Is the hypothesis necessary? Is the converse true?
What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proofuse the hypothesis?
— Paul R. Halmos

Αποσυνδεδεμένος dimikou

  • Revered Member
  • *****
  • Μηνύματα: 594
    • E-mail
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #8 στις: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 09:16 »
Αναμφίβολα είναι σαφώς πιο εύκολο ολοκλήρωμα το δικό σου :smiley:
Απλά με τα άλλα θεσίματα πηγαίνει ο Φίλος (ο καθηγητής) στα Ιωάννινα, ο οποίος τυχαίνει να είναι και τρομερά παράξενος!

edit: Απλά αν δεν μου ξεφεύγει εμένα κάτι, σου έχει ξεφύγει ένα "μείον" στο τέλος της πρώτης γραμμής, το οποίο επηρεάζει και τις παρακάτω πράξεις αρκετά γιατί τα t δεν φέυγουν και τελικά βγαίνει:
\frac{t}{2t^2+3t+1}dt=-\frac{1}{x}dx
« Τελευταία τροποποίηση: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 09:27 από dimikou »

Αποσυνδεδεμένος Anuminas

  • Quoted Member
  • ****
  • Μηνύματα: 252
  • να 'χαμε τώρα μια παστούλα....
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #9 στις: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 19:29 »
Δίκιο έχεις τόσο βγαίνει..



Απλά με τα άλλα θεσίματα πηγαίνει ο Φίλος (ο καθηγητής) στα Ιωάννινα, ο οποίος τυχαίνει να είναι και τρομερά παράξενος!

Αν το θέτεις έτσι πάσο :smiley: :smiley: ως γνωστόν με την παραξενιά ορισμένων δεν είναι να μπλέξεις.
Don’t just read it; fight it! Ask your own questions,look for your own examples, discover your own proofs.Is the hypothesis necessary? Is the converse true?
What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proofuse the hypothesis?
— Paul R. Halmos

Αποσυνδεδεμένος dimikou

  • Revered Member
  • *****
  • Μηνύματα: 594
    • E-mail
Απ: Διαφορικες εξισωσεις
« Απάντηση #10 στις: Παρασκευή 11 Ιούνιος 2010, 23:25 »
Ένα θα σου πω: Ιούνιος πέρσι με 15 σελίδες γραπτό, 4,5 μονάδες σίγουρεςς και μία σελίδα απόσταση από το τέλος μιας άσκησης (τελευταία περίπτωση σε άσκηση 4 σελίδων με περίπου 5 περιπτώσεις) που θα μου έδινε +2μονάδες.
(Και αριθμός μητρώου...αρχαίος)

Τελικός βαθμός=4!

Δεν θα το ξεχάσω όσο ζω! (ακόμα και που μου έφυγε τον περασμένο Σεπτέμβρη ακόμα με στοιχειώνει.

 

* Recent Posts

Εναλλακτική απόδειξη P(A-B)=P(A) - P(A ∩ Β) από pan00liz
[Σήμερα στις 03:18]


ΠΤΥΧΙΑΚΗ από EleniMaths
[Χθες στις 23:23]


Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων από toklis
[Χθες στις 17:32]


μαθηματα απο οικονομικο από sofia
[Δευτέρα 20 Οκτώβριος 2014, 12:48]


Su Doku - Γλώσσες προγραμματισμού από Νίκος mathslover
[Σάββατο 18 Οκτώβριος 2014, 14:06]


Ορισμός του μισού από atelis
[Παρασκευή 17 Οκτώβριος 2014, 22:56]


Αποτελέσματα Σεπτεμβρίου από akis_man
[Παρασκευή 17 Οκτώβριος 2014, 13:48]


Sweet Messages of Love and Life! από Νίκος mathslover
[Πέμπτη 16 Οκτώβριος 2014, 21:10]


Crazy Mathematics! από Νίκος mathslover
[Πέμπτη 16 Οκτώβριος 2014, 14:49]


βιβλίο διαφορική γεωμετρία από alice91
[Δευτέρα 13 Οκτώβριος 2014, 14:58]


Μαθήματα Επιλογής από marionikos
[Σάββατο 11 Οκτώβριος 2014, 21:05]


δυο διαφορετικες λυσεις! ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ από theod12
[Τετάρτη 08 Οκτώβριος 2014, 22:16]